^{EJERCICIOS DE CONTINUIDAD}

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1.-Sea (X,d), (Y,d´) espacios métricos y f:X→Y una aplicación, valen los siguientes resultados:

(a) Si X=∪_n∈NU_n, con cada U_n abierto y f|U_n continua; entonces f es continua en todo X.

(b) Si X=∪_1≤k≤nF_n, con cada F cerrado y f|F_k continua; entonces f es continua en todo X.

Solución. (a) Sea x∈X y x_n→x, como x∈U_m para algún m, entonces existe n₀ tal que para todo n>n₀, x_n∈U_m y por ser f(x_n)= f|U_m(x_n)→f|U_m(x)=f(x) se deduce lo afirmado.

(b) Considere un cerrado F de Y, luego (f|F_k)⁻¹(F) es cerrado y

f⁻¹(F) = ∪_1≤k≤n(f|F_k)⁻¹(F)

que es cerrado, se deduce lo afirmado.

2. Sea (X,d) un espacio métrico. Demostrar que X es discreto, si y sólo si, toda aplicación f definida sobre X es continua.

Solución. Sea (X,d) discreto y f:X→Y una aplicación cualquiera, donde (Y,d´) es un espacio métrico. Si W es un abierto de Y, entonces f⁻¹(W)=∪_x:f(x)∈W{ x} y como cada { x} es abierto, se deduce que f⁻¹(W) es abierto. Esto prueba el directo.

Para ver el recíproco, considere (R,d´) donde d´(w,z)= |w−z| y para x∈X fijo, definimos la aplicación f(x)=𝛿^x_y (función del de Kronecker). Es claro que f⁻¹(0,3/2)={ x} abierto. Se termia la prueba.

3.- Hallar el cardinal de todas las aplicaciones continuas de la recta real en sí misma.

Solución. Si f:R→R es continua, ella queda determinada por sus valores en los números racionales Q={ r_n}, ya que los números racionales Q son densos en los números reales R. A cada cada aplicación continua f:R→R , le hacemos corresponder la aplicación f^{^}:Q→R , donde f^{^}(r_n)=f(r_n) para todo r_n. Veamos que esta correspondencia es inyectiva. Si f^{^}=g^{^} con f y g continuas. luego f(r_n)==g(r_n) para todo r_n racional. Ahora dado x ∈R, existe una subsucesión r_{n_k}→x y por la continuidad, f(r_{n_k})=g(r_{n_k})→f(x)=g(x) . Esto dice que el cardinal de A={ f:R→R: f aplicación continua} es menor o igual que el cardinal B={ h:Q→R: h aplicación }=R^Q y como |B|=|R|^|Q|=c^ℵ₀=c, deducimos que |A|≤c. Por otro para, para cada x ∈R, la aplicación constante f_x(y)=y (para todo y∈R) es continua, obtenemos que c=|A|.

4.-

(a) Dados los espacios métricos (X,d) , (Y,d´) y una aplicación f:X→Y, diremos que es una aplicación abierta, si envía abiertos en abiertos. Dar un ejemplo de una aplicación continua que no sea abierta. De igual manera, una aplicación abierta que no sea continua.

(b) La aplicación f:X→Y se dice cerrada, si envía cerrados en cerrados. Dar un ejemplo de una aplicación continua que no sea cerrada y una cerrada que no sea continua.

(c) Si f:X→Y es una biyección, son equivalentes: f es abierta; f es cerrada; f⁻¹ es continua.

Solución. Consideremos la aplicación identidad f:(R,d)→(R,d´), donde d(x,y)=|x −y| (la métrica usual) y d´ la métrica discreta, es decir d´(x,y)=0, si y sólo si, x=y, y d´(x.y)=1 si x≠y. Es claro que esta aplicación es tanto cerrado como abierta. Veamos que no es continua. En efecto, sea x_n→x, donde los x_n son números reales distintos. Existe un r>0, tal que a bola abierta B(x.r)={ x}, es imposible que existe n₀, tal que x_n∈B(x.r) para todo n>n₀.

Sea ahora X=(0,1] y f:(0,1]→R la aplicación f(x)=x, donde suponemos que la métrica para ambos espacios es la usual d. Es claro que f es continua, pero no es abierta, porque f((1/2,1])=(1/2,1] que no es abierto en R. De igual manera f((0,1/2])=(0,1/2] que no es cerrado en R, Esto prueba las primeras dos partes del ejercicio.

Para probar la última parte, supongamos que f es abierta y F es un cerrado de X. Como X−F es abierto, luego f(X−F)=Y−f(F) (por ser f biyectiva), entonces f(F) es cerrado. Ahora supongamos que f(F) es cerrado para cada cerrado F. Como (f⁻¹)⁻¹(F)=f(F) es cerrado, deducimos que f⁻¹ es continua. Finalmente si f⁻¹ es continua y U es un abierto de X, entonces (f⁻¹)⁻¹(U)=f(U) es abierto. Esto termina el ejercicio.

Nota. Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de continuidad en espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.