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^{UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE FOGUEL}

Supondremos que H es un espacio de Hilbert sobre los números complejos. Un operador acotado T:H→H se dice acotado por potencias, si existe un número real no negativo α, tal que ||Tⁿ||≤α , ∀ n≥1.
Si consideramos x, y ∈ H, entonces la sucesión { T*ⁿTⁿx,y>} tiene la propiedad que
|* ⁿTⁿx,y>|≤ ||T ^{* ⁿ}Tⁿx||||y|| ≤α²||x||||y|| ∀ n≥1.
Esto dice que { T*ⁿTⁿx,y>}∈l_∞(Z⁺). (El espacio de Banach de las sucesiones acotadas complejas)

Si L:l_∞(Z⁺)→C es un límite de Banach, entonces Ψ(x,y)=L({ T*ⁿTⁿx,y>} ) es una forma sesquilineal acotada y por lo tanto existe un único operador acotado A:H→H , tal que L({ T*ⁿTⁿx,y>} ) = ∀ x,y ∈ H.

Diremos que A es un operador de representación para el operador acotado por potencias T.

Vale el siguiente resultado.

Lema 1. Sea T:H→H un operador acotado por potencias y supongamos que existe un subespacios cerrado H₁, operadores T₁:H₁ →H₁ y T₂:H₁^⊥ →H₁^⊥; tales que T=T₁⊕T₂, Si A₁ es el operador de representación de A₂ de T₂, entonces A=A₁⊕A₂ es el operador de representación de T.

Demostración. Sea L un límite de Banach, tenemos que:

L({n(x₁⊕x₂),Tⁿ(y₁⊕y₂)>} )=L({1ⁿx₁,T₁ⁿy₁)>} )+L({2ⁿx₂,T₂ⁿy₂)>} )=

1x₁,y₁>+2x₂,y₂>=<(A₁⊕A₂)(x₁⊕x₂),(y₁⊕y₂)>, ∀ x₁⊕x₂, y₁⊕y₂ ∈ H₁ ⊕H₁^⊥.

se deduce lo afirmado.∎

Un operador acotado T:H→H es débilmente estable, si nx,y> →0, ∀ x, y ∈ H; y se dice que es una contracción si ||T||≤1. Una contracción notables son las isometrías, es decir aquellos operadores acotados T:H→H tal que ||T(x)||=||x||, ∀ x ∈ H. Si el operador adjunto T^*:H→H es una isometría, se dice que T es una coisometría. Un operador acotado T:H→H es fuertemente estable, si nx,x>→0 en norma, ∀ x∈ H, Si ||Tⁿ|| →0, se dice que es uniformemente estable. Es claro que si es uniformemente estable es fuertemente estable, y si es fuertemente estable es débilmente estable. 1

Vale el siguiente resultado.

Lema 2. Sea T:H→H un operador acotado:

(a) T es débilmente estable, si y sólo si, nx,x> →0, ∀ x∈ H

(b) Si T es acotado por potencias, Z(T)={x∈H: Tⁿx →0 débilmente} es un subespacio cerrado invariante para T.

(c)Si T es una contracción: Tⁿx →0 débilmente, si y sólo si, nx,x> →0.

Demostración. (a) El directo es obvio.

Supongamos que nx,x> →0, ∀ x∈ H, luego

n(x+y),(x+y)> →0 y n(x+iy),(x+iy)>→0 .

Como n(x+y),(x+y)>=nx,x>+nx,y>+ny,x>+ny,y> (*) y

n(x+iy),(x+iy)>=nx,x>+ny,y>+iny,x>−inx,y> (**), entonces

multiplicando (*) por i y restándole (**), tenemos:

in(x+y),(x+y)>− n(x+iy),(x+iy)>=(i−1)nx,x>+(i−1)ny,y>+2inx,y> .

Pasando al límite, se obtiene que nx,y> →0, ∀ x, y ∈ H, lo que prueba (a).

(b ) Sea z∈Z(T)^—, luego existe x_r∈Z(T) tal que x_r → z en norma. Como T es acotado por potencias, existe un α >0 tal que ||T)ⁿ||<α, ∀ n≥1. Sea y∈ H, y ≠ 0. Tenemos que | nx,y> | ≤| | nx−x_r,y> |+| nx_r,y>| .

Dado ε>0, existe un r, tal que || x −x_r||< ε/(2||y|| α) . Además existe para este r un n ₀ , tal que ∀ n≥ con n ₀, | nx_r,y> | < ε/2. Se deduce que | nx,y> | ≤ε, ∀ n≥ con n ₀, lo que dice que z∈Z(T).

Es claro que Z(T) es invariate para T, es decir T(Z(T))⊆Z(T).

(c)Para demostrar (c), existe un operador C:K→K , donde K es un espacio de Hilbert tal que H⊂K y C es una coisometría extensión minimal de T^*, es decir lar restricción C|H=T^* y H es el subespacio minimal que reduce a C, es decir si existe M subespacio invariante para C tal que M reduce a C , tal que M⊆H entonces M=H. Recuerde que M reduce a C, si es invariante tanto para C como para su adjunto C^*.

Supongamos que nx,x> →0, ∀ x ∈ H.

Tenemos que *ⁿx,x> =nx>=*ⁿx>=nx,x> →0.

Si y=C^*^kx, entonces

lim_n→+∞*ⁿx,C^*^kx>=lim_n→+∞*^n–kx,x>=0.

Sea y∈M=[ C^*^kx: ∀ k≥1] (clausura del subespacio generado por los C^*^kx).

Existe y_r=Σ_k=0^r_sa_k^rC^*^kx, tal que y_r→y en norma.

Tenemos que | *ⁿx,y>|≤ | *ⁿx,y−y_r>|+ | *ⁿx,y_r>|≤

||x|| ||y−y_r||+| *ⁿx,y_r>|, de lo que se sigue que

lim_n→+∞*ⁿx,y>=0.

Si y∈M^⊥, claramente lim_n→+∞*ⁿx,y>=0. Por lo tanto en general si y ∈H, entonces lim_n→+∞nx,y>=lim_n→+∞*ⁿy>=lim_n→+∞*ⁿx,y>=0, lo que dice que Tⁿx →0 débilmente.

El directo es obvio.∎

Teorema 1. (Teorema de descomposición de Foguel) Si T:H→H es una contracción, entonces existe un subespacio cerrado M y operadores acotados T₁:M→M y T₂:M^⊥→M^⊥ tales que T₁ es débilmente estable y T₂ es unitario.

Demostración. Consideremos M=Z(T)={x∈H: Tⁿx →0 débilmente}. Hemos visto que Z(T) es invariante para T. Veamos que Z(T)=Z(T^*)={x∈H: T^*ⁿx →0 débilmente}. En efecto nx,x>=(*ⁿx,x>)^—(conjugado complejo), de lo que por el lema anterior deducimos que *ⁿx,y>→0, ∀ y ∈ M . Hemos demostrado que M reduce a T. y es claro que T|M=T₁ es un operador débilmente estable.

Consideremos T|M^⊥=T₂ y demostremos que es un operador unitario. Primero veamos que (I−T^*T)(H)⊆Z(T).

En efecto

| *ⁿ(I−T^*T)x,y>|²= |*T)Tⁿy>|²≤

||x||²||(I−T^*T)Tⁿy>||²≤||x||²(||Tⁿy>||²−2Re ny,T^*TTⁿy>+||T^*TTⁿy||²)≤

2||x||²(||Tⁿy||²−||Tⁿ⁺¹y||²)

Como Σⁿ_k=0||Tⁿy||²−||Tⁿ⁺¹y||²=||y||²−||Tⁿ⁺¹y||<+∞ ,

se deduce que ||Tⁿy||²−||Tⁿ⁺¹y||²→0 y por lo tanto *ⁿ(I−T^*T)x,y>→0, ∀ y ∈ H.

Si z ∈M^⊥, entonces *T)x>= <(I−T^*T)y,x>=0, ∀ y ∈ Z(T). Esto dice que (I−T^*T)x∈ Z(T)∩Z(T)^⊥, luego (I−T^*T)x=0, lo que dice que T^*T=I sobre Z(T)^⊥. Por un razonamiento similar se prueba que TT^*=I sobre Z(T)^⊥. Es decir T|Z(T)^⊥ es unitario.∎

Corolario 1. Si T:H→H es una contracción completamente no unitaria, entonces T es débilmente estable.

Demostración. En efecto, usando el teorema de descomposición de Foguel, tenemos que T=T|Z(H) y por lo tanto es débilmente estable.∎

Un operador acotado T:H→H es lleno, si dado un subespacio M cerrado invariante para T , entonces T(M)^—=M. Decir por lo tanto que T no es lleno, es decir que existe un subespacio cerrado M invariante para T, tal que T(M)^—⊊M.

Corolario 2 . Si T:H→H es una contracción no llena, H un espacio de Hilbert separable; entonces existe un subespacio cerrado M invariante para T, tal que T|M es unitario lleno.

Demostración. Usando el teorema de descomposición de Foguel , si M=Z(T)^⊥, entonces T|Z(T)^⊥ es unitario. Veamos que T|Z(T)^⊥ es un operador acotado lleno. De lo contrario, existe un x≠0, tal que nx,x>=0, ∀ n≥1. Usando el lema 2 en su parte (c) llegamos a que Tⁿx→0 débilmente, lo que es contradictorio.∎

Lema 3. Sea T:H→H un operador acotado. Son equivalentes

(a) Tⁿ→0 uniformemente

(b) El radio espectral del operador T, es decir r(T)< 1,

(c)Existen 0<α< 1 , β≥1, tales que ||Tⁿ||≤ βαⁿ, ∀ n≥1.

Demostración. veamos que (a) implica (b). Supongamos que Tⁿ→0 uniformemente, es decir ||Tⁿ||→0. Como r(Tⁿ)=r(T)ⁿ≤ ||Tⁿ||, se deduce obviamente que r(T)< 1.

Supongamos que (b) es cierto y consideremos un α con r(T)<α< 1, luego existe un n₀, tal que ||Tⁿ||<αⁿ, ∀ n≥n₀.< Si =máx{ ||Tⁿ||/α^n₀ }, es directo ver que se cumple (c).

Es obvio que (c) implica (a).∎

Lema 4.Valen los siguientes resultados:

(a) Si Tⁿ→0 débilmente, entonces σ_p(T)⊆Δ={ λ ∈C: | λ |< 1}

(b) Si T es compacto y σ_p(T)⊆Δ, entonces Tⁿ→0 uniformemente.

Demostración. (a) Sea λ ∈σ_p(T), es decir λ es un valor propio del operador T, entonces existe x en H, x ≠0 tal que Tx=λx y por lo tanto Tⁿx =λⁿx.

Como < Tⁿx ,x>=λⁿ< x ,x>→0, se deduce que λⁿ→0 y por lo tanto |λ|< 1.

(b) Sabemos por la Alternativa de Fredholm para operadores compactos que σ(T)−{ 0}=σ_p(T)− { 0}. Se deduce que r(T)< 1 y por el lema anterior Tⁿ→0 uniformemente.∎

Corolario 3. Si T:H→H es una contracción compact y A es el operador de representación de T, A_* el operador de representación de T^*; entonces A=A_*.

Demostración. Usando el teorema de descomposición de Foguel, tenemos que T=T₁⊕T₂, H=Z(T)⊕Z(T)^⊥, tales que T₁=T|Z(T) es débilmente estable y T₂|Z(T)^⊥ es unitario.

Si denotamos por A₁ el operador de representación de T₁ y A₁_* el de T₁^*, tenemos por el lema 1 que A=A₁⊕I y A_*=A₁_*⊕I . Como T₁=T|Z(T) es débilmente estable y compacto, por el lema 4 en su parte (a), σ_p(T)⊆Δ; y por la parte (b) del mismo lema , llegamos a que T₁ⁿ→0 uniformemente . Usando los mismos argumentos para T₁^*, se deduce que A₁=A₁_*=0. Esto prueba el resultado.∎

Nota.1Si T:H→H es una contracción, existe un operador acotado A tal que T*ⁿTⁿx→Ax en norma, ∀ x ∈ H. Se prueba que justamente A es operador de representación para T, y por lo tanto si Tⁿ→0 uniformemente, entones A=0. Este argumento fue el que se aplicó al final de la prueba del corolario anterior.

Corolario 4. Si T:H→H es un operador compacto acotado por potencias, unitariamente equivalente a una contracción, entonces su operador de representación coincide con el de T^*.

Demostración. Existe un operador acotado in C:K→K con K espacio de Hilbert y un operador acotado A:H→K, tales que A es unitario y C es una contracción, tales que T=A⁻¹CA; luego Tⁿ=A⁻¹TⁿA. Sea B el operador de representación de T y B_* de T^*; A₁ el de C y A₁_* el de C^*. Sabemos por el resultado anterior que A₁=A₁_*.

Como =L({ Tⁿx,Tⁿy>} )=L({ A⁻¹CⁿAx,A⁻¹CⁿAy>} )=

L({ CⁿAx,CⁿAy>} )=< A₁(Ax),Ay>=< A₁_*(Ax),Ay>=

L({ C^*ⁿAx,C^*ⁿAy>} )=L({ AT^*ⁿx,AT^*ⁿAy>} )=L({ T^*ⁿx,T^*ⁿAy>} )=*x,y>.

Se deduce que B=B_*.∎

Referencias

Peter A. Filmore (1968) Notes on Operator Theory. Van Nostrand Reinhold Company. New York. 1.-Carlos S. Kubrusliy (2003) Hilbert Space Operators. Birkhauser. Boston