Dipolos magnéticos e interacción dipolar

Hola a todos, apreciados colegas y amigos de STEEMIT. De nuevo trayéndoles lo más destacado de mis archivos de Física Básica, en este caso el magnetismo. En Capítulos anteriores de la serie “Misterios Magnéticos” hemos estado discutiendo temas de nuestra vida donde el magnetismo es pilar fundamental. Entre estos hemos discutido temas tales como la rotación de La Tierra, las leyes de la magnetostática, polos magnéticos, la brújula, péndulos magnéticos, entre otros. Si te has perdido ésta Serie te invito a viajar por los enlaces:

https://steemit.com/stem-espanol/@jfermin70/misterios-magneticos

https://steemit.com/stem-espanol/@jfermin70/misterios-magneticos-2

https://steemit.com/stem-espanol/@jfermin70/misterios-magneticos-3

Debo decirles que cada experimento o demostración que a Uds. les presento, los muestro a mis Estudiantes de Ingeniería. Para este Capítulo de “Misterios Magnéticos” me inspiré en una clase de “Electromagnetismo”, donde intentaba explicar el origen del magnetismo y cómo este se propaga en la materia. Surgieron las preguntas:

…¿porqué existe magnetismo?... …¿se puede producir un campo magnético sin corrientes eléctricas?... …¿los campos magnéticos se propagan y cómo?... …¿cómo interaccionan los dipolos magnéticos?...

El magnetismo es un efecto invisible ante nuestros sentidos: no podemos sentir el efecto de un campo magnético, pero si vemos sus efectos en los objetos macroscópicos. Para responder estas preguntas debemos utilizar unas capacidades de observación y experimentar un poco. Te mostraré que podemos resolver problemas científicos de nuestro entorno sin equipamientos complejos y costosos y sin tener gran experiencia en física. En este trabajo te propongo un paseo a través del magnetismo y “ver” algunos de sus efectos.

Con la finalidad de hacer este proyecto más interactivo, les agradezco dejarme sus inquietudes y preguntas en un REPLAY, y así darles respuesta.

Para más información sobre este tema y otros relacionados con Ciencia, Física y Tecnología, les invito visitar mis sitios:

luz.academia.edu/JoseFermin www.researchgate.net/profile/Jose_Fermin

* El material presentado en este trabajo es original y propiedad del Autor

Dipolo magnético. Campo dipolar.

Fue Ampère quien primero idealizó la estructura de un material magnético y el porqué la materia puede producir campos magnéticos. Para esto, introdujo el concepto de momento magnético,

https://cdn.steemitimages.com/DQmetKadRg8DKm9bGe2eQbAqwF5jjt8HSEZE2V2wsjN5ifc/Ec%201.jpg

A es el área del circuito, I la corriente y n el vector normal al plano del circuito. Entonces según Ampère todo material magnético estaba constituido por pequeñas corrientes cerradas, como se muestra en la Figura 1.

https://cdn.steemitimages.com/DQmVUSRuEwmNmFTQsPhwmhbS2ffbQAWAQkJF44z8iZUtgij/Fig%201.jpg

Figura 1. Geometría típica para describir un dipolo magnético (Propiedad del Autor)

Cada una de estas corrientes cerradas o espiras de corriente generan un campo magnético en cualquier punto fuera del eje, B, dado por la Ley de Biot-Savart,

https://cdn.steemitimages.com/DQmXaf4C2R6nFHB98G4mkQKWXLNayxX4LMmu5AvMmxBcJoX/Ec%202.jpg

donde μ es la permeabilidad magnética del medio. Considerando la configuración de la Figura 1, tenemos,

https://cdn.steemitimages.com/DQmcaZpinMyCc4CSoVh6tFb9gRH9s173ZMNbARmhachCN9E/Ec%202A.jpg

Con esto, el campo magnético es obtenido a partir de la Ecuación (2) y está determinado por la integral,

https://cdn.steemitimages.com/DQmTE8LUFyy5AEAzGoUCWVeVfKbUvgwVfy4Ni8co1pe7he9/Ec%203.jpg

ó

https://cdn.steemitimages.com/DQmbWfdztnnHNKsuMtnAz4qFucxf66NKmbGu3w5n4bKsCbQ/Ec%204.jpg

donde,

https://cdn.steemitimages.com/DQmZw6ZgayaT9pcVr3PaN4QuAnQKJmFnjNVqSLLj1y4XuXB/Ec%205.jpg

Estas integrales son en general complicadas de resolver ya que involucran integrales elípticas de primera y segunda clase. En vez de realizar cálculos explícitos, nuestro interés se centrará en entender la fenomenología de la interacción dipolar.

En el caso particular del campo en el eje de la espira (B_x=B_y=0; x=y = 0, r = z), obtenemos,

https://cdn.steemitimages.com/DQmSNYqbwihteec3UPArod23BSMo6cF67oWDzrNn1cfofxs/Ec%206.jpg

Ahora nos centraremos en el estudio de la interacción entre dipolos magnéticos.

Interacción entre dipolos Amperianos. Corrientes de magnetización

Considera dos dipolos “Amperianos” como los de la Figura 2. La interacción entre estos dos dipolos magnéticos viene dada por la conocida Ley de Ampére,

https://cdn.steemitimages.com/DQmbLe8xVpxVEJUhzwDe98WTB89U4Xkxsv7FCYvB3FQ5wfB/Ec%207.jpg

donde I₂ es la corriente de la espira № 2 de longitud l₂, y B₁ es el campo producido por la espira № 1 expresado en las Ecuaciones (4)-(5) y (6). Utilizando el diferencial de l₂ de la espira № 2,

https://cdn.steemitimages.com/DQmPbFU5hhwboX4rfyjPHsUmwhv1ShxAxFr2RETHAWkUd6F/Ec%207A.jpg

la fuerza que ejerce la espira № 1 sobre la espira № 2 se expresa como,

https://cdn.steemitimages.com/DQmY5ED5SS6yw7LyrpcX9LxbANPiwnZJdHUZHUYb2otcCie/Ec%208.jpg

https://cdn.steemitimages.com/DQmQssCtFkKiopwGjQNX4Nt5isvuLYz1RGuQq4YMixar28j/Fig%202.jpg

Figura 2. Interacción dipolar entre dos dipolos magnéticos Amperianos (Propiedad del Autor).

Al igual que en el caso del campo magnético de la espira simple, esta integral también requiere resolver funciones elípticas de primera y segunda clase. Sin embargo, desde el punto de vista fenomenológico esta fuerza produce un torque entre las espiras dado por la ecuación vectorial,

https://cdn.steemitimages.com/DQmfNmagTw8A9CQLuA4aTbA8eAHx5QEx6n67fXw1JHwA5Zs/Ec%209.jpg

cuyas componentes son, en el caso general

https://cdn.steemitimages.com/DQmdzFPSSbSVcjSRknV7taNRXqtR7MKMn7MPuztY9kk1AxC/Ec%2010.jpg

donde las componentes de la fuerza están explícitamente determinadas en la integral (8). Introduciendo las correspondientes componentes de (8) en (10), obtenemos que las componentes del torque se reducen a,

https://cdn.steemitimages.com/DQmPtGuAAckKczZmDPyHWsUDLzcPD2fAEScTGEgQssNUyKJ/Ec%2011.jpg

La fuerza de interacción induce torques en el plano de las espiras y en la dirección vertical, como se muestra en la Figura 2. Este es un movimiento compuesto por una rotación alrededor del eje de las espiras y una nutación con eje de oscilación a lo largo del radio. Debido a este movimiento de nutación, el plano de la espira № 2 se inclina con respecto al plano de la espira № 1 en un ángulo θ, tal en la configuración de la Figura 2. Si las espiras están separadas una distancia h, entonces tenemos que el torque sobre la espira № 2 es,

https://cdn.steemitimages.com/DQmPzCRKoSQRjom2hzdS4ZhHWnfNfH1g3jGZqnPzg6VKsZd/Ec%2012.jpg

donde hemos sustituido las coordenadas,

https://cdn.steemitimages.com/DQmVecjC9jD2Q79eN1FvR8n3QKPZaacZKoRjLz8W4b2vPCi/Ec%2012A.jpg

en las Ecuaciones del torque dadas en (11). Si las corrientes están en fase (ф₁=ф₂), entonces τ_z(θ)=0 y solo existirá un torque en el plano XY equivalente a una rotación alrededor del eje de las espiras. Se requiere que las corrientes estén desfasadas para que el plano de las espiras se incline con respecto a la horizontal, y producir en consecuencia una nutación del eje de la espira.

El modelo descrito no solo es válido para distribuciones homogéneas de corriente, como por ejemplo, una corriente de cargas fluyendo a través de una espira de cobre, sino también cuando las espiras están compuestas de un material magnetizable, tal como un alambre de hierro o cualquier otro material ferromagnético. Sin embargo, debido a la esencia estructural de la materia el campo producido por ésta es paralelo a la magnetización, y es más conveniente describir el sistema a través de la Ecuación de la densidad de torque magnético,

https://cdn.steemitimages.com/DQmVf51xVRwNKRdagNVJrmraX3SwbDxFMAo5de6du1YiZae/Ec%2013.jpg

que experimenta la magnetización M en presencia de un campo B. Ahora estudiemos la interacción dipolar entre dos espiras ferromagnéticas o magnetizadas. El torque que ejerce la espira № 1 sobre la espira № 2 es,

https://cdn.steemitimages.com/DQmdyTRE1x9bWpy7kRAhFy7Na9H2bbGmfKPMVmB9vFkmgPt/Ec%2014.jpg

Teniendo en cuenta las relaciones constitutivas del campo magnético,

https://cdn.steemitimages.com/DQmac1u7xxoCjKASAkRpJALuPpZBpVVGgc1CBTWNdDBPNHW/Ec%2015.jpg

donde χ_1,2 es la susceptibilidad magnética de la espira (1, 2). El torque sobre la espira № 2 es,

https://cdn.steemitimages.com/DQmQuxTM6BEDhYkuTsDe3LJCAQg5qc1wbzuiH7HDFvfhARp/Ec%2016.jpg

Por simetría, ambas espiras se magnetizan a lo largo del alambre, es decir, en el plano de cada espira,

https://cdn.steemitimages.com/DQmdR5tTHv4eDMQMLHvLBCNgyZcJU3KUyrmDLWNFg2pVCv9/Ec%2017.jpg

Finalmente, obtenemos la Ecuación del torque entre dos espiras magnetizadas,

https://cdn.steemitimages.com/DQmTuvn8RY3NAkk75tmXgY8kPZNigDChhjg3MeqaRpi9w5B/Ec%2018.jpg

Fenomenológicamente analizaremos dos casos límites con ésta ecuación: a) espiras magnéticas paralelas; b) espiras magnéticas perpendiculares. Ambos casos se esquematizan en la Figura 3. En el caso (a), se produce sobre cada espira un torque en la dirección perpendicular al plano de las espiras. Este torque induce oscilaciones periódicas con respecto a un eje de rotación en el plano de las espiras. En el caso límite (b), los planos de las espiras están colocadas perpendicularmente entre ellos. Considerando la espira № 2 a lo largo del plano XZ, tendremos,

https://cdn.steemitimages.com/DQmXBLqwnkzXzsUZm2ZvT9bLXf6aNMCkJJssF2KZ199DpMH/Ec%2019.jpg

Como se observa en la Figura 3, se induce un torque en la dirección vertical que produce una rotación de la espira № 2 alrededor de su eje, y torques en el plano horizontal XY que hacen girar el plano de la espira № 2 alrededor del eje Z. Recíprocamente, el torque que induce a espira 2 sobre la espira 1 es:

https://cdn.steemitimages.com/DQmVDAGQ7QYx7MFALdunQr4ntPkUpoBGrshiiDJd9eKEf6E/Ec%2020.jpg

Para apreciar cómo funcionan todas estas Ecuaciones les mostraré en la próxima sección algunas demostraciones con espiras metálicas imantadas.

https://cdn.steemitimages.com/DQmfEaJzeAVY2RF3AbMtG32K9CHXwBKo8L1WRwt96MfiDqz/Fig%203.jpg

Figura 3. Configuraciones paralela y perpendicular de dos espiras magnetizadas interactuando a través de campos dipolares (Propiedad del Autor).

Demostración: interacción dipolar magnética

Materiales y procedimientos

El objetivo de ésta sección es mostrarles cómo, a pesar de la aparente complejidad algebraica de la teoría de las interacciones magnéticas, su fenomenología es muy simple. Mostraremos la esencia de la interacción entre espiras metálicas magnetizadas y sus efectos mecánicos.

Para esto necesitaremos básicamente los materiales y elementos que se muestran en la Figura 4. Luego que tengas todos los materiales a la mano, construye las estructuras como aparecen en las Figuras 5 y 6. El elemento fundamental para nuestro experimento es un dispositivo llamado “dipolo magnético múltiple”. Primero experimentaremos con el “dipolo doble” y también les presentaré mi arreglo múltiple de más de dos (2) espiras. Estos son montajes para fines didácticos que nos permiten visualizar la interacción magnética dipolar.

https://cdn.steemitimages.com/DQmRBq6JAxs8iXVS4DBNSgTgNfm5GKwGaenpDLsnkRzffdT/Fig%204.jpg

Figura 4. Materiales utilizados en los experimentos propuestos en este trabajo (Propiedad del Autor).

Para construir tus estructuras multipolares sugiero realizar lo siguiente:

1) Imantar los alambres frotándolos varias veces con el imán. Para saber si el alambre está magnetizado acércalo a la brújula. Si la aguja se mueve el alambre se magnetizó.

2) Construir varias espiras doblando el alambre utilizando como molde un vaso o algún objeto cilíndrico o esférico.

3) Clavar los clavos en los palos de madera equi-distantemente, a una distancia igual al diámetro de las espiras.

4) Rellena los envases de refresco con agua y luego inserta los palos de madera hasta unos 15-20 cm. Esto es para estabilizar el peso de la estructura y evitar vibraciones indeseadas.

4) Ata con el hilo tus espiras a los clavos de ambos palos de madera. Tensa los hilos cuidando que las espiras tengan sus planos lo más horizontal posible.

5) El plano de apoyo horizontal debe estar nivelado. Para esto usa un nivel de agua.

6) También puedes experimentar con dipolos de variadas geometrías y formas.

7) Para que te familiarices con el funcionamiento del dispositivo, prueba primero con un espira, luego con dos espiras, etc.

https://cdn.steemitimages.com/DQmYh4K5YEYZfnSKZ8KTJiYbLvQh9xxK3jbay1i3HmFMMe4/Fig%205.jpg

Figura 5. Elementos básicos para construir estructuras multipolares magnéticas (Propiedad del Autor).

https://cdn.steemitimages.com/DQmeLpZKUJ1gc9pdTfKad2bzKBdwvAYqqfNaUh2vxToLpLq/Fig%206.jpg

Figura 6. Estructuras multipolares magnéticas terminadas (Propiedad del Autor).

… Ya estás listo para experimentar con dipolos magnéticos…Y a divertirte… … Juguemos con espiras magnéticas… …Observa los videos a continuación…

Comentarios finales

Las fuerzas magnéticas son efectos invisibles e indetectables para nuestros sentidos, produciendo fenómenos incomprensibles para nosotros. Sin embargo, estamos inmersos en un mar de ondas y campos magnéticos. Gracias a las fuerzas y campos magnéticos, la materia permanece unida debido a la interacción entre los dipolos magnéticos que la conforman, formando materiales de diversa índole: diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, antiferromagnéticos, ferrimagnéticos, entre muchos otros.

Los campos y fuerzas magnéticas no son solo producto de las cargas en movimiento, o corrientes eléctricas. La materia magnetizable, tal como un alambre de hierro está constituida por dipolos magnéticos diminutos que interaccionan entre sí, generando torques entre los átomos. Estos torques inducen rotaciones en los planos principales del dipolo.

Sin torques magnéticos nuestro planeta no podría rotar alrededor de sobre su propio eje ni trasladarse alrededor del Sol, y por lo tanto no existirían el día y noche, o los meses y los años. Tendríamos un planeta sobrecalentado en un lado y sobre enfriado en el otro: no existiría la vida en el planeta.

Con demostraciones sencillas estudiamos la dinámica de estos péndulos, y pudimos reproducir el movimiento de un planeta alrededor del Sol.

Antes de despedirme, me gustaría llamar la atención de la comunidad de docentes tanto a nivel medio como universitario, para que consideren incorporar en sus actividades docentes la discusión de estos problemas cotidianos, donde las leyes y principios de la física son la base fundamental.

…Con imaginación y física básica podrán cambiar el mundo… … Hasta el próximo MISTERIO MAGNÉTICO…

Agadecimiento

Quiero agradecer de manera especial a la STEEMER @viagaby, por su valiosa colaboración en la edición de los videos de este artículo y los anteriores. Colaboración sin la cual no sería posible este proyecto.

Lecturas sugeridas sobre magnetismo y materiales magnéticos:

1. E. W. Lee, Magnetism: an introductory survey, DOVER Pub. Inc, NY (1970).

2. Guillermo Heyaca Verela, Energía de los Campos Magnéticos, Eds. Nueva Librería, Buenos Aires (1980).

3. Nicola Spaldin, Magnetic Materials: Fundamentals and Device Applications, Cambrigde University Press (2003)

4. Rebecca Carmi, Amazing Magnetism: Magic School Bus Chapter # 12, Scholastic Inc. (2001)

5. John David Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd Edition, Willey-Sons, NY (1975)

6. Edward M. Purcell, Electricidad y Magnetismo, Berkeley Physics Course, Ed. Reverté, Madrid (1980)

7. Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 6th Ed., Wiley-Sons, NY (1986)