¡Hola amigos de Steemit!

En mi entrega anterior aplicamos los principios asociados a las ondas estacionarias para la determinación de la velocidad del sonido. En esta segunda parte analizaremos el impacto y los efectos estacionarios de la propagación de señales a través de líneas de transmisión.

Las líneas de transmisión son medios pasivos utilizados para el transporte de energía entre dos puntos. Existen una gran variedad de tipos de líneas de transmisión tales como líneas bifilares, de trenzado, coaxiales, microcinta, etcétera, todas con un amplio uso en la industria y a la que debemos los avances tecnológicos mas importantes de nuestra era.

Una antena que transmite recibe la señal de una línea de transmisión para luego irradiarla. Se requiere que la transferencia de la energía proveniente de la línea sea la máxima posible para que este proceso sea eficiente.

En la figura 1 se ilustra un diagrama esquemático general de una línea de transmisión en el que se muestran los elementos y variables que están presentes en el proceso de transmisión.

![](https://steemitimages.com/DQmdYSCNarhdohgp3dZR7Ev2YvQtW9Ms3F9xSzp9yb4ykD8/image.png) Figura 1 - Modelo esquemático de una línea de transmisión conectada Elaborada por @ lorenzor en Microsoft Power Point V_g → Voltaje en el generador Z_g → Impedancia en el generador Z_c → Impedancia en la carga Z₀ → Impedancia característica de la línea l → Longitud de la línea

Las líneas de transmisión operan a distintas frecuencias y el uso de uno u otro tipo de línea dependerá de los requerimientos de la transmisión. Estas líneas poseen una impedancia que depende de los parámetros distribuidos: Resistencia(R), Inductancia (L), Capacitancia(C) y Conductancia (G).

La transmisión de señales a través de este medio requiere de la comprensión de los principios ondulatorios que hacen posible alcanzar el objetivo fundamental de dicho proceso, el cual es la máxima transmisión de la energía en forma optima.

Este proceso de transmisión se ve afectado por una serie de factores que impiden la calidad y efectividad de la transmisión, uno de ellos es el tema de análisis en este trabajo que comparto con ustedes.

Las Ondas Estacionarias

El fenómeno estacionario de las ondas al que haré referencia es medido a través de un parámetro que cuantifica su efecto en la transmisión y el cual es conocido como razón de onda estacionaria (ROE).

Para entender con mayor claridad el significado y la importancia de ROE en el proceso de transmisión, iniciaremos con una revisión de los conceptos y variables asociados de manera directa a este parámetro.

Para facilitar nuestro análisis usaremos señales de voltaje y corriente con las que estamos más relacionados y cuyos tratamientos matemáticos son menos abstractos que los análisis de propagación que involucran campos eléctricos y magnéticos en los que se hace imperativo el uso de las Ecuaciones de Maxwell.

La ecuación de onda para una señal fasorial de voltaje “vs” en una línea de transmisión con propagación en el eje “z” es gobernada por la siguiente expresión:

![](https://steemitimages.com/DQmVRA4RzHQxBmJKviJqrh4EMPwFNFfduGKEqifbh6MNpyR/image.png) Donde " γ " representa la constante de propagación compleja dada por: ![](https://steemitimages.com/DQmUFUKxUv2ZaD7HCUHdphuVJpHH7b63K9ZbSdJzbCErUcs/image.png) La solución de la Ecuación diferencial (1) está dada por la expresión: ![](https://steemitimages.com/DQmVbvkHxp9V5gRkosDjjY7nWGtq9DHaSvtGt1d6KwZdw3y/image.png)

La expresión (4) muestra la existencia de dos ondas en la propagación, la onda incidente que se propaga hacia la carga y una onda reflejada originada en algún punto, donde las características del medio presentan variación.

Los términos v_i0 y v_r0 representan las amplitudes de las ondas incidentes y reflejadas que se propagan en la línea de transmisión respectivamente.

La expresión (4) puede escribirse de la forma: ![](https://steemitimages.com/DQmXZZuXyC85ebk9CfyjZycr7kEe1eEGCrwWxCgrWMGQg4j/image.png) Donde "ρ_v " representa el coeficiente de reflexión de la señal de voltaje. ![](https://steemitimages.com/DQmbNxXC8oJSygKmD8RBZQdETTtadKgf5YRbsQ2hzWXHKdR/image.png) |ρ_v| → magnitud del coeficiente de reflexión θ → corrimiento de fase

Los valores extremos del voltaje resultante en la línea son obtenidos de la magnitud de la ecuación (5).

![](https://steemitimages.com/DQmbpVm6yaRvbaqPTRbK6L6F9qzBHJvfucVmcJy6j8rcQ2v/image.png) Donde consideramos que la atenuación en la línea es pequeña ("α"→0) para efectos de simplificación. Dado que: ![](https://steemitimages.com/DQmbjBDdJj3fCFy5xj4WV8B8siaHHAozPSJQaTEhYZJUPmD/image.png) De forma similar al voltaje, la corriente eléctrica en la línea se obtiene de la expresión: ![](https://steemitimages.com/DQmRnK5QhPNL1cchaoiGuKnZn8qFkqADm7mSo3gbzM7Cxw9/image.png)

Los términos I_i0 y I_r0 representan las amplitudes de las ondas de corriente incidentes y reflejadas que se propagan en la línea de transmisión respectivamente.

Las expresiones de voltaje y corriente permiten obtener la potencia de las señales que intervienen en el proceso de transmisión, está es dada por la expresión general:

![](https://steemitimages.com/DQmdA74eY32bUrVycHXHr3RhQtxW8ZSjLD67uZHTp88Hoev/image.png) Donde "Z₀" representa la impedancia de la línea definida por: ![](https://steemitimages.com/DQmRgmmFCH4edKUiNCJHDCSJNM7kFvU3YM7GKER2MvSHfZo/image.png)

Las diferencias de impedancia entre la línea de transmisión definida por la ecuación (13) y la impedancia en la carga “Z_C”, son el origen principal de las reflexiones en la frontera que separa estos dos elementos. Este evento es conocido como desadaptación o desacople de impedancias, lo cual se traduce en señales de retorno al generador, que superpuesta con la onda que viaja hacia la carga, forma una onda estacionaria. Este efecto estacionario de las ondas es no deseado debido a que además de provocar posibles daños en los transmisores o generadores ocasionan sobrevoltajes y pérdidas adicionales en la línea.

Es importante acotar que el fenómeno estacionario no es únicamente originado en el extremo que une la línea y la carga. La señal de retorno generará el mismo fenómeno en la entrada de la línea si existen diferencias o desacople entre Z₀ y Z_g.

En cualquier caso, la finalidad de la línea es operar como un medio de transporte de la onda viajera proveniente del transmisor o generador y no está construida con el objeto de almacenar una onda estacionaria cuya energía no se propaga, si no que por el contrario, está atrapada entre sus puntos nodales.(Ver figura 2)

![](https://steemitimages.com/DQmWgy68K8fVFschEF3pX6BtSXKFeXZySo8UWjDjNSwe7L3/image.png) Figura 2_ Onda Estacionaria Autor: [LFISETSITUPM2011](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nudo_-_Vientre.png) en Wikimedia bajo la licencia [Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)

De lo expuesto podemos apreciar que la máxima transferencia de la energía transportada ocurrirá en el caso ideal en el que la línea y la carga estén acopladas, es decir, que la onda viajera o incidente que se propaga hacia la carga no registre cambios de impedancias (Z_C=Z₀).

Debido a las dificultades que implica lograr este acoplamiento la cantidad de energía reflejada es monitoreada a través del coeficiente de reflexión y la razón de onda estacionaria (ROE) dada por la expresión:

![](https://steemitimages.com/DQmYShruURZQfauSKrKvMVKEd7bhoC5i4YURvofR4vwGhV4/image.png)

El valor de ROE proporciona una medida del desacople existente entre la línea y la carga y permite además hacer los correctivos dirigidos a minimizar estas reflexiones y, en muchos casos, la inclusión de elementos acopladores que optimicen la transmisión de la señal hacia la carga.

Los valores máximos y mínimos de la razón de onda estacionaria están dados por:

![](https://steemitimages.com/DQmXNa8GQgNrvNn6Tz5oE1awnLg859Gd8oMowzw1kAJMG9P/image.png)

Generalmente ROE es asociado, con fines más prácticos, a los porcentajes de potencia reflejada en la carga (potencia de retorno) y la potencia entregada a ella a través de las siguientes expresiones.

Porcentaje de potencia reflejada

![](https://steemitimages.com/DQmczNkZy4PVwyRmjyQr9P5dgYcGj6KsFJ5PiYieEgm6xUg/image.png) ![](https://steemitimages.com/DQmYZMtCpKdpD6uUbo84wZM4NfqDG33Z9n8iiwDWjBpUDiQ/image.png)

Porcentaje de potencia transmitida (Recibida por la carga)

![](https://steemitimages.com/DQmNUyxKbwTqNdx1ydYrmcuruTbk5p7RZbXh9miPXPCgLQP/image.png)

En la siguiente tabla se muestra algunos valores referenciales de las potencias reflejadas y las recibidas por la carga, obtenidas de las ecuaciones (17) y (19) para distintos valores de ROE.

![](https://steemitimages.com/DQmSjZCcPFXV1MJa5TftFcVH4w8Rivkca1k4gQSoGh8s53M/image.png) Tabla de Potencias vs ROE Elaborada por @ lorenzor en Microsoft Excel

Los valores de ROE ≥ 3 son considerados como excesivos por lo que se deben tomar medidas preventivas que permitan reducir este valor.

Existen en el mercado instrumentos que permiten medir la razón de onda estacionaria (ROE) identificado como medidor de SWR por sus siglas en ingles (STANDING WAVE RATIO). (Ver figura 3)

![](https://steemitimages.com/DQmaJLnCeW3C5M6qTL8Rg5mkkN8VpjPJGKejx7icv6DzhRf/image.png) Figura 3 - Instrumento de medición de la razón de onda estacionaria (ROE) Autor: [ Vaughan Weather]( www.vaughanweather.com) - TS Enterprise Services en Wikimedia bajo licencia de [GNU Free Documentation License](https://en.wikipedia.org/wiki/GNU_Free_Documentation_License)

De esta forma podemos apreciar que la comprensión de los fenómenos ondulatorios y específicamente el comportamiento estacionario de las ondas ha permitido avanzar en el desarrollo de sistemas de transmisión más eficientes contribuyendo de esta forma con un gran número de tecnologías fundamentadas en principios como los aquí expuestos.

Referencias

* Introduction To Electromagnetic Fields Third Edition / Clayton R. Paul, Keith W. Whites, Syed A. Nasar * Electrodinamica Clasica Segunda Edición / John David Jackson * Electromagnetismo Conceptos y Aplicaciones Cuarta Edición / Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, Gabriel G. Skitek * Física para ingeniería y ciencias Vol.2 Tercera Edición / Hans C. Ohanian, John T. Markert * Teoría electromagnética. Willian H. Hayt, Jr., John A. Buck. Séptima edición. McGraw Hill.