https://i.imgur.com/juS9jlz.jpg

(Fotografía tomada por mi con mi teléfono celular Siragon SP-5050.)

Cuando hice mi primer articulo sobre ondas creí que hacer las simulaciones correspondientes seria un total problema, en el primer post de matemática dinámica y como les he venido diciendo a lo largo de esa serie de artículos conocer nuestro fenómeno es primordial; pues así es. Si tenemos la ecuación que rige nuestro fenómeno siempre debemos ingresarla en la barra de entrada y ver que ocurre.

Introduciendo en la barra de entrada la función de una onda viajera.

Recordemos que la función de una onda viajera en sentido +x es:

https://i.imgur.com/58e9Fuy.png

Procedemos a escribir la ecuación en la barra de entrada:

https://i.imgur.com/bEgj2ip.png

Al hacerlo se nos crearán deslizadores para las variables que no están definidas como el tiempo, el número de onda, la frecuencia angular y la amplitud, además de la gráfica correspondiente.

https://i.imgur.com/Hlrq0t2.png

(Todas las imágenes y animaciones han sido hechas por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Y es aquí cuando ocurre la magia pues, al poner en marcha el deslizador para el tiempo nuestra onda empieza a "viajar". Y así de forma muy sencilla contrario a lo que creía se simula la onda viajera.

https://i.imgur.com/fuy1e7z.gif

Cómo es de esperar si hacemos uso de los demás deslizadores podemos cambiar la características de la onda.

Variando la amplitud (A).

La amplitud de una onda es el máximo desplazamiento de sus picos o valles.

https://i.imgur.com/kexHObq.gif ]

Variando el número de onda (k).

El número de onda "k" es el numero de veces que vibra una onda por unidad de distancia, como dicen por ahí una imagen vale más que mil palabras.

https://i.imgur.com/8zW15xB.gif

Variando la frecuencia angular (ω).

Frecuencia angular baja.

https://i.imgur.com/XW50mJs.gif

Cómo podemos ver al tener la onda una frecuencia angular baja esta avanza muy poco.

Frecuencia angular alta.

https://i.imgur.com/C4QpviA.gif

Cómo es de esperar al tener una frecuencia angular más alta la onda avanza de forma más rápida.

Si queremos simular una onda que viaja en dirección -x simplemente como hicimos anteriormente escribimos en la barra de entrada su ecuación, está es la misma de antes pero con signo +.

https://i.imgur.com/QgnrHQE.gif

Onda viajera en sentido -x.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Sabiendo ya como simular nuestras ondas viajeras podemos empezar a simular situaciones en las cuales estén involucradas, uno de estos casos es el de las ondas estacionarias en una cuerda, estas se da cuando una onda que viaja por una cuerda se refleja al chocar con un extremo fijo e interfiere con otra que viaja en sentido opuesto originando una onda resultante que parece estar inmóvil.

Debemos recordar que, cuando un pulso viaja a traves de una cuerda y se encuentra con un extremo cerrado este se refleja sufriendo un desfase de 180°.

https://i.imgur.com/vzKckCB.gif

Ahora si pasamos de tener un solo pulso a una sucesión continua de estos (onda periódica) lo que ocurrirá es que al reflejarse cada uno en el extremo cerrado originara otra onda viajando en sentido opuesto.

https://i.imgur.com/VvyYISS.gif

Cada pulso se reflejará cambiando su fase en 180°.

Para recrear esto solo basta entonces simular una onda que viaje en sentido +x y otra a -x

https://i.imgur.com/YewLBnl.gif

Al entrar en contacto estas dos ondas se produce el fenómeno de interferencia, la ecuación de la onda resultante de estas constantes interferencias la podemos obtener haciendo uso del principio de superposición sumando las ecuaciones correspondiente para una onda que viaja en sentido +x y otra en sentido -x.

Haciendo uso del principio de superposición:

https://i.imgur.com/Z5q3pOz.png

Al sustituir:

https://i.imgur.com/rItC27k.png

Sabemos que:

https://i.imgur.com/2OE1QAH.png

Por lo tanto al sustituir y realizar la operaciones correspondientes obtenemos:

https://i.imgur.com/d1lSuwt.png

Ecuación onda estacionaria.

Para realizar la simulación correspondiente podemos escribir la ecuación anterior en la barra de entrada o simplemente escribimos la suma de las ecuaciones de dos ondas idénticas que viajan en sentido opuesto:

https://i.imgur.com/pOhFAuE.png

El resultado es el siguiente:

https://i.imgur.com/Y9oASTg.gif

La onda en gris es la resultante de la interferencia de las otras dos, es decir la onda estacionaria; como vemos el patrón no viaja sino que oscila al rededor de una posición de equilibrio debido a esto se debe su nombre.

Cuando las ondas están en fase es decir una sobre la otra la interferencia es constructiva y la amplitud de la onda resultante es el doble de la amplitud de las ondas individuales, en una onda estacionaria los antinodos corresponden a una interferencia del tipo constructiva.

https://i.imgur.com/hpAY9IF.png

Podemos observar como la onda resultante (en gris) tiene mayor amplitud.

Si en cambio estás están totalmente desfasadas la interferencia que se produce es destructiva, en una onda estacionaria este tipo de interferencia se ve representada en los nodos.

https://i.imgur.com/McKCryZ.png

Las ondas se "cancelan" y no hay onda resultante.

Lista la simulación de la onda estacionaria solo debemos empezar a dar los toques finales, hacemos uso del comando "función" para acotar lo que queramos ver insertando los valores deseados.

https://i.imgur.com/3EGlV8s.png

Al hacerlo obtenemos lo siguiente:

https://i.imgur.com/andUtuO.gif

Listo lo anterior modificamos los valores de la frecuencia angular y el número de onda hasta obtener lo deseado.

https://i.imgur.com/2KZ9hfs.gif

Hecho todo lo anterior podemos decir que tenemos la simulación lista para ser usada además de poder exportarla como animación GIF o cuál otro formato que deseemos, podemos agregar colores y más detalles a nuestra simulación.

Ejemplos onda estacionaria en cuerda.

Frecuencia fundamental:

https://i.imgur.com/QYNMO3i.gif

Podemos observar un solo antinodo correspondiente a una interferencia constructiva.

Segundo armónico:

https://i.imgur.com/ZbMzC0M.gif

Acá podemos ver dos antinodos y un nodo justo en medio de ellos dos; este corresponde a la interferencia del tipo destructiva.

Cuarto armónico:

https://i.imgur.com/PBLq8ga.gif

En la simulación anterior se pueden ver la serie de nodos y antinodos debido a las interferencias que se producen.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Generación experimental de ondas estacionarias en una cuerda.

Conociendo como se producen las ondas estacionarias en una cuerda podemos porque no intentar reproducirlas, veremos que con un sencillo montaje realizado en casa con objetos de fácil acceso podemos lograr obtener una onda estacionaria y sus diferentes modos normales de vibración, para esto necesitaremos los siguientes instrumentos:

- Un ventilador.

- Hilo pabilo.

- Destorcedor de cadena.

Realizar el montaje es sencillo solo debemos amarrar un extremo del hilo al eje del ventilador y el otro al destorcedor de cadena, recomiendo que la longitud del hilo sea de un metro aproximadamente.

https://i.imgur.com/2iZs7in.jpg

Ahora solo hace falta encender el ventilador...

https://www.youtube.com/watch?v=8TbIaCyb7Xc

(El vídeo y todas las fotografías han sido realizados por mi con mi teléfono celular Siragon SP-5050.)

Como pudimos observar el numero de nodos aumenta al disminuir la tensión de la cuerda, podemos obtener una relación de esto sabiendo que la longitud de la cuerda es:

https://i.imgur.com/jkcni8q.png

(1)

Siendo n el numero de nodos y lambda la longitud de onda.

La velocidad de propagación de una onda viene dada por:

https://i.imgur.com/s5aJLZ6.png

Pero al tratarse de una onda que se propaga por una cuerda la velocidad es igual:

https://i.imgur.com/5S4TYFf.png

Donde T es la tensión en la cuerda y μ la densidad lineal, por lo tanto:

https://i.imgur.com/OLh8yqq.png

De (1) despejamos la longitud de onda y la sustituimos en la ecuación anterior:

https://i.imgur.com/gmbF6T7.png

De lo anterior despejamos la tension:

https://i.imgur.com/Cy4nABW.png

De la ecuación anterior podemos ver que hay una relación inversa entre la tensión y el cuadrado del numero de nodos, con lo cual al disminuir la tensión estos aumentan.

De la ecuación

(1)

podemos despejar lambda y obtener la longitud de onda correspondiente para cada armónico:

https://i.imgur.com/g42M5JB.png

Frecuencia fundamental:

https://i.imgur.com/3rJ8Gfr.png

https://i.imgur.com/KHHmVgN.jpg

Segundo armónico:

https://i.imgur.com/ciHHhLY.png

https://i.imgur.com/FJxQEmZ.jpg

Tercer armónico:

https://i.imgur.com/HjRDODP.png

https://i.imgur.com/Odms4wV.jpg

Cuarto armónico:

https://i.imgur.com/4ciiX92.png

https://i.imgur.com/XMSj5Nn.jpg

Quinto armónico:

https://i.imgur.com/V21Rblv.png

https://i.imgur.com/4i8hrHU.jpg

Sexto armónico:

https://i.imgur.com/OlqbRgL.png

https://i.imgur.com/rR9oYVh.jpg

Séptimo armónico:

https://i.imgur.com/yeMTq9n.png

https://i.imgur.com/juS9jlz.jpg

Conclusiones generales:

- La onda estacionaria se forma debido a la interferencia de dos ondas idénticas que viajan en sentido opuesto.

- Los nodos son puntos donde no hay desplazamiento y corresponden a interferencias del tipo destructiva.

- Los antinodos son los lugares donde el desplazamiento es máximo y donde se producen la interferencia del tipo constructiva.

- La distancia entre dos nodos o antinodos consecutivos es media longitud de onda.

- Al disminuir la tensión en la cuerda se obtienen los diferentes modos normales de vibración.

- Los modos normales son múltiplos de la frecuencia fundamental.

Material consultado:

Resnick, Halliday y Krane (1993), Física. 3ra edición Compañía Editorial Continental México Volumen 1.

Young, H. D, & Freedman, R. A. FISICA UNIVERSITARIA, volume 1. Pearson Educación de México, S.A. de C.V., 2009.

Tippens, P. E. FISICA - CONCEPTOS Y APLICACIONES. McGrawHill/Interamericana Editores, S.A. DE C.V., 7ma edition, 2001.

Todas las imágenes y animaciones han sido hechas por mi haciendo uso del software matemático GeoGebra Classic 5. Las fotografías y el vídeo son igualmente de mi autoría.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Las ondas estacionarias en cuerdas es un fenomeno sumamente interesante y atractivo, espero hayan disfrutado de el y maravillado tanto como yo en mi momento.

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https://i.imgur.com/frY05QS.png Credito @djredimi2