http://i.imgur.com/IJIFLqv.jpg

(Todas las imágenes y GIF's han sido creados por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

La óptica, una de las ramas más antiguas e interesantes de la física encargada del estudio de la luz, especialmente de la luz visible en el espectro electromagnético, tiene un impacto directo en nuestra vida viéndose involucrada desde la astronomía hasta la medicina y fotografía diaria; algunos fenómenos dependen del comportamiento onda-partícula de la luz teniendo que hacer uso de la mecánica cuántica, sin embargo se puede hacer un estudio simplificado de fenómenos ópticos haciendo uso de la

óptica geométrica.

Rayo luminoso: es la línea imaginaria por donde se propaga la luz basandose en el principio de propagación de la luz en línea recta.

Óptica geométrica: se basa en el uso del concepto de

rayo luminoso

siendo una aproximación del comportamiento de la luz utilizando las leyes de reflexión y refracción, despreciando los efectos de difracción ligados al comportamiento ondulatorio de esta.

Principio de Huygens.

Principio que debe su nombre a Christian Huygens celebre físico y matemático que en 1678 propuso que la luz era un fenómeno ondulatorio, basándose en el concepto de frente de onda.

Este principio nos dice que todo punto de un frente de onda inicial se puede ver como una fuente de ondas esféricas secundarias que se propagan en todas las direcciones con la misma frecuencia, longitud de onda y velocidad que el frente de onda inicial, haciendo uso de esto podemos predecir la posición futura del frente de onda inicial siendo la envolvente de todas las ondas secundarias.

Principio de Fermat.

Principio extremal enunciado por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662, establece que la trayectoria que recorre la luz de un punto a otro es tal que el tiempo requerido es mínimo, enunciado de esta forma es útil para muchos casos sin embargo es necesario hacer notar que en algunos casos la luz sigue un camino óptico máximo por lo tanto el principio de Fermat se reformuló como sigue: el trayecto que sigue la luz para propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Fenómenos de reflexión y refracción.

Estos fenómenos son característicos de las ondas en general, la reflexión de la luz se da cuando esta choca contra una superficie y es rechazada por ella en una especie de "rebote" reflejándose con el mismo ángulo de incidencia respecto a la normal a la superficie, en el caso de la refracción se produce cuando la luz pasa de un medio a otro medio con un indice de refracción distinto, el indice de refracción es la relación entre la velocidad de propagación de la onda en un medio conocido y la velocidad de propagación en el medio al cual pasa, en el caso de la luz su velocidad en el vacío es una constante conocida por lo tanto el indice de refracción para la luz viene dado por: https://i.imgur.com/NpwwdgS.png siendo "v" como se dijo antes la velocidad de propagación en el medio al cual esta pasando.

Las leyes que gobiernan estos fenómenos pueden ser deducidas haciendo uso del principio de Fermat o del principio de Huygens, a continuación procederemos a ello haciendo uso del principio de Fermat.

Reflexion.

http://i.imgur.com/IJIFLqv.jpg

(Todas las imágenes y GIF's han sido creados por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Un rayo incidente que parte de A choca con la superficie reflectante en O, se refleja y sigue una trayectoria hasta B, "O" puede encontrarse en cualquier punto de la recta horizontal, siendo i y r los ángulos de incidencia y reflexión respectivamente.

Definiendo:

https://i.imgur.com/TntwBJg.png

La trayectoria total es s1 + s2 y el tiempo empleado para recorrer la misma vendrá dado por http://i.imgur.com/EExaMk8.jpg siendo "v" la velocidad de propagación. De los triángulos que se forman podemos ver que:

https://i.imgur.com/e4a5C8o.png

Sustituyendo lo anterior en la ecuación para el tiempo obtenemos:

https://i.imgur.com/yObXf2M.png

Si movemos ligeramente el punto O los ángulos presentarán una variación di y dr. La variación dt del tiempo vendrá dada por:

https://i.imgur.com/hdeAdWC.png

Por el principio de Fermat el tiempo es mínimo entonces dt = 0 por lo tanto:

https://i.imgur.com/xxHPWbH.png

Como los diferenciales de los ángulos no son independientes entre sí de la figura se deduce que:

https://i.imgur.com/Nqtjdtm.png

Derivando ambos miembros:

https://i.imgur.com/uyfZINI.png

Combinando lo anterior con la condición del tiempo mínimo obtenemos:

https://i.imgur.com/5Bm8Hws.png

Lo que nos dice que la trayectoria que sigue el rayo luminoso recorrida en el menor tiempo es aquella en la que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, obteniendo así la
ley de reflexión.

Refraccion.

http://i.imgur.com/oKJDb3A.jpg

(Todas las imágenes y GIF's han sido creados por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

La línea horizontal representa el plano de separación de dos medios distintos, cuyas velocidades de propagación son v y v' respectivamente. Siendo AOB la trayectoria de un rayo que se propaga de A hasta B, θ y φ los ángulos de incidencia y refracción respectivamente. El tiempo viene dado por http://i.imgur.com/5U0A7Ox.jpg con http://i.imgur.com/ItbR80Z.jpg

Entonces procediendo como en el caso anterior:

https://i.imgur.com/GvK4TXJ.png

Si movemos ligeramente el punto O los ángulos presentarán una variación dθ y dφ. La variación dt del tiempo vendrá dada por:

https://i.imgur.com/Qy2tjEy.png

Si el tiempo es mínimo dt = 0 entonces:

https://i.imgur.com/4jV3Hr8.png (1)

Al ser c + d constante tenemos:

https://i.imgur.com/eRMKFQX.png (2)

Dividiendo (1) entre (2) obtenemos:

https://i.imgur.com/bkgysuM.png

Pero sabemos que https://i.imgur.com/NpwwdgS.png al despejar v para cada caso y sustituir obtenemos:

https://i.imgur.com/itWVwYB.png (Ley de refracción también conocida como ley de Snell.)

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Construcción de imágenes en espejos. (Objeto no puntual)

https://i.imgur.com/ENiUhJC.png

https://i.imgur.com/tQz6cxj.png

i y o son distancias; distancia imagen y distancia objeto respectivamente.

(Ecuación espejos esféricos).

Podemos considerar dos tipos de espejos; planos y esféricos, estos últimos con los cuales trabajaremos tienen la forma que resulta cuando una esfera es cortada por un plano pudiendo tener dos casos, cóncavos y convexos, para continuar es necesario definir algunos elementos:

- Centro de curvatura: es el centro de la esfera teórica a la cual pertenece nuestra superficie.

- Radio de curvatura: es el radio de dicha esfera.

- Eje principal: es la recta que une el centro de curvatura con el centro de nuestro espejo.

- Foco: es el punto sobre el eje donde convergen todos los rayos que inciden paralelos al eje.

Si la imagen se produce en el foco https://i.imgur.com/kCZXz8O.png

Entonces:

https://i.imgur.com/SRCaSBP.png

Como un número divido entre infinito es cero resulta:

https://i.imgur.com/0JwWQSm.png

Y como i = f al sustituir tenemos que:

https://i.imgur.com/LmasWfZ.png

Lo que nos dice que, en los espejos esféricos el foco esta ubicado a una distancia de la mitad del radio de curvatura, lo que es igual al punto medio entre el vértice del espejo y el centro de curvatura.

https://i.imgur.com/396nxxU.png

En la imagen de arriba podemos ver la ubicación de los elementos del espejo para los dos casos, en el espejo cóncavo el radio de curvatura es menor que cero r < 0 y en los convexos tenemos r > 0

Propiedad de reversibilidad:

- Un rayo que incide paralelo al eje pasa por el foco y viceversa.

- Un rayo que pase por el centro de curvatura se regresa por el mismo camino pero en sentido inverso debido a que la incidencia es perpendicular.

Estas propiedades son una consecuencia directa de la ley de reflexión con ellas podemos construir la imagen de un objeto sobre el eje sin importar su posición solo trazando dos rayos que emergen de la parte superior de este, uno paralelo al eje y otro que pase por el centro de curvatura, el punto donde estos rayos o sus prolongaciones convergen se conoce como punto imagen y es donde se formará nuestra imagen, si la imagen se forma por la prolongación de los rayos reflejados decimos que la imagen es virtual ya que no podemos recogerla en una pantalla, de no ser así decimos que es real.

Ejemplos espejos cóncavos:

Objeto situado delante del foco.

https://i.imgur.com/XYy1rNR.png

Como podemos ver si el objeto se encuentra situado a una distancia menor que la distancia focal la imagen que se forma es virtual, debido a que es generada por la prolongación de los rayos reflejados además de esto su tamaño será mayor que el del objeto.

Objeto situado en el foco.

https://i.imgur.com/zfmebeP.png

Cómo podemos observar los rayos son paralelos entre sí y por ende nunca convergen por lo cual no se forma imagen.

Objeto situado entre el foco y el centro de curvatura.

https://i.imgur.com/sXcxMYB.png

Como se ve la imagen que se forma es real, de mayor tamaño que el objeto e invertida, es decir la imagen se verá al revés.

https://i.imgur.com/GfMYJyg.gif

Al estar el objeto entre el centro de curvatura y el foco e irse acercando el objeto al centro de curva la imagen va disminuyendo su tamaño.

Objeto en el centro de curvatura.

https://i.imgur.com/hrJIvti.png

La imagen formada es real, de igual tamaño que el objeto pero invertida.

Objeto más allá del centro de curvatura.

https://i.imgur.com/iVfb3wt.png

Se observa que la imagen formada es invertida, de menor tamaño que el objeto y real.

https://i.imgur.com/REUpTk5.gif

Mientras mas alejado este el objeto del vertice del espejo el tamaño de la imagen es menor.

Ejemplo espejo convexo.

https://i.imgur.com/0u7VuP5.gif

Como se puede ver en los espejos convexos sin importar la ubicación del objeto la imagen siempre sera de menor tamaño que el objeto y virtual ya que al estar el centro de curvatura y el foco "detrás" del espejo la imagen es formada por las prolongaciones de los rayos y no puede ser recogida en una pantalla, ejemplos cotidianos de espejos convexos son los usados en los retrovisores de los automóviles.

La imagen en espejos planos es virtual, derecha y de igual tamaño que el objeto. Cuando los rayos de luz chocan contra el espejo se reflejan y divergen como si procedieran de un punto P' situado detrás del plano del espejo, cuando estos rayos entran en el ojo no pueden distinguirse de los rayos que procedieran de una fuente luminosa situada en P' sin que hubiese espejo.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Construcción de imágenes en lentes.

En óptica una lente es un dispositivo capaz de desviar los rayos de luz, es decir, de causar una refracción y tenemos dos tipos de ellas:

- Lentes convergentes: estas son más gruesas en el centro y estrechas en sus bordes, se les denomina así porque todos los rayos que inciden paralelos al eje convergen en el foco, las lentes convergentes son lentes convexas o combinaciones de estas.

- Lentes divergentes: contrario a las convergentes son más gruesas en los bordes y presentan estrechez en el centro, se denominan así porque dispersan o hacen diverger todo rayo que incida en ella paralelo al eje y son las prolongaciones de estos los que convergen en el foco, estás lentes son cóncavas

La potencia de una lente se mide en dioptrías y es https://i.imgur.com/bT4jX3C.png lo que nos quiere decir que mientras menor sea la distancia focal de nuestra lente mayor será la potencia de esta.

La construcción de las imágenes en las lentes se puede realizar siguiendo las siguientes propiedades; en las lentes convergentes todo rayo que incide en la lente paralelo al eje se refracta pasando por el foco imagen (F'), todo rayo que pase por el foco objeto (F) emerge paralelo al eje y todo rayo que incida pasando por el centro óptico (centro geométrico de la lente) emerge sin desviarse, en las lentes divergentes estás reglas cambian un poco, todo rayo que incida en la lente paralelo al eje es la prolongación del rayo que emerge la que paso por el foco objeto y de igual forma todo rayo que incida pasando por el centro óptico emerge sin desviarse.

https://i.imgur.com/sdzYJZZ.png

Ejemplos lente biconvexa.

Objeto situado más allá de la distancia focal.

https://i.imgur.com/RA8wBtw.gif

Como se puede observar a medida que el objeto se acerca al foco el tamaño de la imagen aumenta pero sigue siendo inferior a la del objeto, esto cambia cuando el objeto se encuentra a una distancia mayor que la distancia focal pero menor a dos veces la distancia focal en ese intervalo el tamaño de la imagen es mayor que la del objeto pero sigue manteniendo su naturaleza real e invertida.

Objeto situado en el foco.

https://i.imgur.com/HbKXMPD.png

En este caso no se forma imagen los rayos nunca convergen en un punto.

Objeto situado a una distancia menor que la distancia focal.

https://i.imgur.com/0sex4H2.png

Como podemos ver aquí la naturaleza de la imagen cambia, se vuelve virtual y ya no está invertida además que su tamaño es mayor que la del objeto.

Ejemplo lente bicóncava.

https://i.imgur.com/KoZCCYr.gif

Como vemos sin importar la ubicación del objeto siempre la naturaleza de la imagen es virtual y derecha y su tamaño es menor que la del objeto.

Conclusiones generales:

- El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

- Todo rayo qué incida paralelo al eje se refleja pasando por el foco y viceversa.

- La luz siempre recorre un camino óptico extremo (máximo o mínimo)

- Los espejos cóncavos son convergentes y los convexos divergentes.

- En los espejos convexos la imagen siempre es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

- Las lentes bicóncavas son divergentes y las biconvexas convergentes.

- En la lente bicóncava la imagen siempre es virtual, derecha y menor tamaño que el objeto.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Espero hayan disfrutado de este fascinante tema, si así fue estén atentos a mi próxima publicación ;).

( Todas las imágenes y GIF's han sido hechos por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Material consultado:

Resnick, Halliday, Krane, (1992). Física Vol. 2. 4ta edición compañía Editorial Continental México.

Rodríguez, I., Lacasta, A., (1997). Apuntes de fisica I de topografía. Escuela Politécnica de Barcelona. https://ocw.upc.edu/sites/all/modules/ocw/estadistiques/download.php?file=27102/2009/1/53095/40788-3277.pdf

Font, J. (2003). Óptica geométrica. Universidad Politécnica de Cataluña. http://aransa.upc.es/ffettsi/Apuntes/Optica.pdf

(2016). Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie esférica. http://materias.df.uba.ar/f2byga2016c2/files/2012/07/RESUMEN_Deducci%C3%B3n-de-las-leyes-de-reflexi%C3%B3n-y-refracci%C3%B3n.pdf

Óptica geométrica. I.E.S Silverio Lanza departamento de física y química. http://www.educa.madrid.org/web/ies.silveriolanza.getafe/Ens/DptoFisicaQuimica/Bachillerato/Optica11May09.pdf