https://i.imgur.com/ETjOK8z.png

(Todas las imágenes y GIF's han sido creados por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Saludos lectores, en mi post anterior sobre óptica geométrica les hablé sobre los fundamentos de esta, las leyes en las cuales se basa e hicimos uso de ella para explicar y entender la formación y comportamiento de las imágenes en espejos y lentes cuando el objeto se encuentra a diferentes distancias, en el siguiente contenido seguiremos con la línea de la óptica geométrica e incursionaremos en otras aplicaciones además de explicaciones de fenómenos diarios.

- Dioptrio: es la superficie refractante que separa dos medios con distinto índice de refracción.

- Dispersión: es la dependencia de la variación de la velocidad de una onda con su longitud de onda, en el vacío la velocidad de la luz es igual para todas las longitudes de onda pero en un medio material no es así, el índice de refracción es función de la longitud de onda.

- Prisma: es todo medio transparente limitado por dos superficies planas no paralelas capaz de reflejar, refractar y descomponer la luz.

Refracción en un prisma.

https://i.imgur.com/DfS4EDH.png

(Todas las imágenes y GIF's han sido creados por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Un rayo de luz monocromático incide con un ángulo φ en la cara de un prisma, siendo α el ángulo del vértice y sabiendo que el prisma está inmerso en el aire determinaremos haciendo uso de la ley de refracción (Ley de Snell) el ángulo δ que es la desviación que ha sufrido el rayo respecto a su trayectoria original. Para ello aplicaremos la ley de Snell en la primera superficie y encontraremos el ángulo de refracción para esta; luego encontraremos el ángulo de incidencia para la segunda superficie y su respectivo ángulo de refracción.

Entonces, del triángulo ONO' se deduce:

https://i.imgur.com/2xybvZg.png

Al ser la recta ON perpendicular a la recta OA y la recta O'N perpendicular a la recta O'A los ángulos son iguales y por consiguiente:

https://i.imgur.com/Zhi210M.png

Por lo tanto:

https://i.imgur.com/5gNjzpd.png

Aplicando la ley de Snell al punto O y recordando que para el aire n = 1 obtenemos:

https://i.imgur.com/AvGzjJj.png

Y al aplicarla al punto O' obtenemos:

https://i.imgur.com/dPO6LaS.png

Verificándose que la desviación del rayo es:

https://i.imgur.com/HYcUVEP.png

Cuando el ángulo de incidencia ϕ disminuye el ángulo de desviación decrece al inicio y luego aumenta, haciéndose mínimo cuando el rayo dentro del prisma es perpendicular a la bisectriz del ángulo α, este ángulo es el de desviación mínima https://i.imgur.com/0V5hIKV.png.

En el caso anterior se cumplen las siguientes igualdades https://i.imgur.com/XEJmKCN.png y si aplicamos la ley de Snell al punto "O" considerando lo anterior obtenemos:

https://i.imgur.com/I3B9Z1G.png

Ecuación que nos dice el índice de refracción para el material del prisma.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Reflexión interna total.

Este fenómeno se da cuando un rayo de luz viaja inicialmente por un medio con un índice de refracción n y atraviesa un medio con un índice de refracción n' siendo n > n', cuando esto ocurre y el rayo de luz supera el llamado ángulo limite se refracta de tal modo que no puede salir fuera del segundo medio reflejándose completamente internamente.

Haciendo uso de la ley de Snell podemos relacionar el ángulo de incidencia ϕ con el ángulo de refracción θ.

https://i.imgur.com/PF7nQjd.png

Sabemos que n es mayor que n' entonces https://i.imgur.com/E6cVwIh.png es mayor que uno y el seno de ϕ menor que el seno de θ resultando ser sin(θ) igual a la unidad, es decir θ = 90° para un cierto ángulo ϕ menor que 90°.

https://i.imgur.com/ZD2tUYO.png

Lo anteriormente dicho se evidencia en el rayo "3" refractado el cual se ve que forma un ángulo de refracción de 90° respecto a la normal, el ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es de 90° es el ángulo límite, cuando el ángulo de incidencia supera el ángulo limite o ángulo critico el seno del ángulo refractado es mayor que la unidad lo cual se traduce en que estos rayos no pasan al otro medio sino que se reflejan internamente como se ve en el rayo "4".

Una importante aplicación de este fenómeno es en la fibra óptica para transportar la luz sin perdidas de energía, en la fibra óptica el material interno tiene un índice de refracción mayor que el material que la cubre, el haz de luz se propaga en la fibra con un ángulo de reflexión mayor que el ángulo limite, como sabemos la fibra óptica es ampliamente utilizada en telecomunicaciones.

https://i.imgur.com/KlDC3k9.png

Comportamiento de un haz de luz al propagarse en la fibra óptica.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

El ojo como sistema óptico.

El ojo humano, uno de los órganos más impresionantes por su composición y el hecho de darnos la visión, si bien su funcionamiento es complejo podemos hacer un estudio de el a partir de la óptica geométrica conociendo cómo funcionan algunas de sus partes ya que el

cristalino

funciona como una lente.

- Cristalino: esta parte del ojo es en la cual nos enfocaremos ya que ella se comporta como una lente convergente, la diferencia es que no es rígida, es decir, tiene la capacidad de cambiar su radio de curvatura para así ajustar su distancia focal, este proceso se llama acomodación.

- Retina: en un ojo sano es el lugar donde se debe formar la imagen para poder ser vista con nitidez.

- Músculo ciliar: este músculo se encuentra en los extremos del cristalino y es el que le da la capacidad de cambiar su curvatura.

- Iris: es el diafragma del ojo, conformado por la pupila la cual varía su radio de abertura para dejar pasar más o menos luz.

Como ya dije en un ojo sano la imagen debe formarse en la retina, las imágenes de objetos alejados se forman directamente sobre la retina pero al variar la distancia objeto a longitudes más cercanas el cristalino debe variar su curvatura (acomodación) para así lograr que los rayos converjan en la retina, el punto situado a la distancia mínima que el ojo puede ver con nitidez un objeto se llama punto próximo y el punto situado en la distancia máxima a la que el ojo ve con nitidez se llama punto remoto el cual en un ojo normal está situado en el infinito.

Cristalino rígido.

https://i.imgur.com/9eVkLdw.gif

Como se puede observar si la lente de nuestro ojo el cristalino no fuese flexible sino rígida al acercarse o alejarse el objeto la imagen no se formaria sobre la retina, ocasionando dificultades al momento de ver con nitidez.

Cristalino flexible.

https://i.imgur.com/Ny11xTl.gif

En esta simulación podemos observar el funcionamiento correcto del cristalino y como este varía su curvatura al acercarse o alejarse el objeto, logrando que la imagen se forme sobre la retina y podamos ver con nitidez.

Algo curioso es que, cómo se habrán dado cuenta la imagen que se forma es invertida sin embargo el cerebro procesa la información y la "acomoda" para que logremos verla derecha.

Defectos de convergencia.

Como ya sabemos las imágenes deben formase sobre la retina para poder ser vistas con nitidez el encargado de que esto ocurra es el cristalino, cuando este falla se producen las enfermedades visuales que todos conocemos entre ellas la hipermetropía y miopía.

- Miopía: cuando queremos ver objetos alejados el cristalino no realiza acomodación podríamos decir que se encuentra "relajado" y la imagen se forma sobre la retina, ahí está nuestro foco, una persona con miopía tiene "exceso de convergencia" y el foco imagen se sitúa por delante de la retina cuando el cristalino está relajado es decir, la imagen se forma delante de la retina y al alcanzar la máxima acomodación el foco se encuentra más cerca del cristalino que en un ojo normal traduciéndose esto en una deficiencia para ver objetos que se encuentran lejos, el ojo miope no ve con claridad objetos situados del infinito al punto remoto.

https://i.imgur.com/T0m9Iqn.png

Para corregir la miopía se usan lentes divergentes, divergen los rayos que llegan y su foco debe encontrarse en el punto remoto para que la imagen logre formarse en la retina.

Hipermetropía: este es el caso contrario a la miopía, un ojo con hipermetropía tiene un cristalino poco convergente entonces el foco imagen se encuentra detrás de la retina y para ver objetos lejanos debe realizar acomodación, su punto próximo se encuentra mucho más lejos que en un ojo normal en consecuencia tiene dificultades para ver de cerca.

https://i.imgur.com/WpH17QF.png

Este defecto visual se corrige con lentes convergentes.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Arco iris.

El arco iris es un fenómeno óptico muy llamativo e interesante que fascina a grandes y pequeños; a lo largo de la historia fueron muchos los científicos que propusieron sus teorías sobre su formación, en el se manifiesta la refracción, dispersión y reflexión total de la luz. Podemos hacer un estudio de su formación a partir de la óptica geométrica, consideraremos un rayo de luz monocromático que incide sobre un gota de agua esférica

https://i.imgur.com/qx2Vhi3.png

El rayo incidente se refracta en A y este al llegar a B se refleja parcialmente saliendo refractado nuevamente en C. Aplicando la ley de Snell al rayo incidente en el primer contacto con la gota de agua obtenemos la relación del ángulo de incidencia con el ángulo de refracción:

Siendo n el índice de refracción para el agua y recordando que el índice de refracción para el aire es n = 1

https://i.imgur.com/wwEEjXu.png

El ángulo de desviación del rayo δ está relacionado con el ángulo β:

https://i.imgur.com/YGUXCIM.png

Siendo 2β el radio angular del arcoiris, debemos relacionar el ángulo de desviación con el ángulo de incidencia. Del triángulo AOB obtenemos:

https://i.imgur.com/Y794IQG.png

Del triángulo AOP vemos que:

https://i.imgur.com/kNLYDr0.png

Combinando las dos últimas ecuaciones obtenemos la siguiente relación:

https://i.imgur.com/VAupO9X.png

La cual nos permite expresar el ángulo de desviación de la siguiente forma:

https://i.imgur.com/lr9Cfzu.png

Sustituyendo θ2 de la relación obtenida al aplicar la ley de Snell lo anterior resulta en:

https://i.imgur.com/Pf5OqXR.png

Si graficamos la ecuación anterior podemos darnos cuenta que el ángulo de desviación tiene su valor mínimo cuando el ángulo de incidencia es de unos 60° y teniendo en cuenta esto el ángulo de desviación mínimo resulta ser de unos 138°

Por lo cual el radio angular del arco iris es:

https://i.imgur.com/B5WckOH.png

El color que se ve para cada radio angular depende de la longitud de onda de la luz que tenga un ángulo de desviación mínimo, permitiendo a la luz alcanzar el ojo desde las gotas de agua con este radio angular. Recordando que por la dispersión el índice de refracción del agua varía para cada longitud de onda, para la luz roja este es menor que para la violeta por esta razón el color rojo está situado en la parte superior del arco iris y el violeta en la parte inferior.

En buenas condiciones podemos ver dos arco iris uno arriba del otro, acá hemos hecho un estudio del arco iris conocido como primario que tiene colores mas intensos y se forma tras una reflexión interna, por su parte el arco iris secundario es el que se forma en la parte de arriba trás dos reflexiones internas y por esto sus colores son más tenues; el ángulo de desviación mínima para el arco iris secundario es de 130° y la intensidad de la franja que va de 130° a 138° situada por encima del arco iris primario y por debajo del arco iris secundario es casi nula, esta zona se ve mas oscura que el resto del cielo y se conoce como zona oscura de Alejandro.

https://i.imgur.com/KcFvtTA.png

Espero hayan disfrutado de la óptica geométrica y la facilidad que nos da para estudiar algunos fenómenos.

( Todas las imágenes y GIF's han sido hechos por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Material consultado:

Resnick, Halliday, Krane, (1992). Física Vol. 2. 4ta edición compañía Editorial Continental México.

Rodríguez, I., Lacasta, A., (1997). Apuntes de fisica I de topografía. Escuela Politécnica de Barcelona. https://ocw.upc.edu/sites/all/modules/ocw/estadistiques/download.php?file=27102/2009/1/53095/40788-3277.pdf

Font, J. (2003). Óptica geométrica. Universidad Politécnica de Cataluña. http://aransa.upc.es/ffettsi/Apuntes/Optica.pdf

(2016). Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie esférica. http://materias.df.uba.ar/f2byga2016c2/files/2012/07/RESUMEN_Deducci%C3%B3n-de-las-leyes-de-reflexi%C3%B3n-y-refracci%C3%B3n.pdf

Óptica geométrica. I.E.S Silverio Lanza departamento de física y química. http://www.educa.madrid.org/web/ies.silveriolanza.getafe/Ens/DptoFisicaQuimica/Bachillerato/Optica11May09.pdf

Nussenzveig, M. Teoría del arco iris. http://www.divulgameteo.es/uploads/Teor%C3%ADa-arco-iris.pdf