Para todos los Steemians de esta gran comunidad de Steemit, cordiales y muy respetuosos saludos de mi parte!. Continuando con mi serie de posts dedicados a la definición de **ANGULO SOLIDO**, en el presente les muestro **LA EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO**. Todos estos posts los voy presentando de una manera pausada ya que requieren de considerable trabajo de edición de texto y creación de figuras. TODAS LAS IMAGENES AQUI PRESENTADAS SON COMPLETAMENTE DE MI AUTORIA.

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INDICE DE POSTS ANTERIORES:

[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-1-conocimientos-basicos)

[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-2-conocimientos-basicos-continuacion)

[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-3-conocimientos-basicos-continuacion)

[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-4-conocimientos-basicos-continuacion)

[EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-5-definicion-de-angulo-solido)

![Angulo6b.jpg](https://steemitimages.com/DQmUt4gVnnQgKMPP36byqPpPMyLBqsdL25VbFwpgJDM7wrc/Angulo6b.jpg) # EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO

Supóngase ahora que se tiene una superficie plana muy pequeña ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg), representada vectorialmente por el vector ![Relación 4Ff.jpg](https://steemitimages.com/DQmZHpx3C2CG9bnJ8yZ6RA38duwWfsu3BdCqWwgYeH8rss5/Relaci%C3%B3n%204Ff.jpg) perpendicular a ella, que está situada a una distancia R de un punto fijo P y que está posicionada mediante el vector ![Relación 4Xf.jpg](https://steemitimages.com/DQmZTUPJfWQifuvBD1BBRincjhF88iJxaxX1XbHUEJbofwo/Relaci%C3%B3n%204Xf.jpg) con respecto al mismo. El vector ![Relación QXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmWcCGHTYc5cZJn5wPXs7ce93y6nAnveHaiamFWZHq6KLh/Relaci%C3%B3n%20QXG.jpg) es un vector unitario en la dirección de ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg), es decir, ![Relación 8XG.jpg](https://steemitimages.com/DQmdvA6cv97qLYJam1rFNXDcmitCoHCWLzwx4ha7W1Sxe2A/Relaci%C3%B3n%208XG.jpg).

![AngSol66.jpg](https://steemitimages.com/DQmb3VC3A8YfZh2bdZhkv4n6wWQf1RtCcPPN9KeLs1BdybQ/AngSol66.jpg) Figura 1 - Angulo sólido subtendido por una superficie diferencial ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) con respecto a un punto P.

Gráficamente, igual que antes, el ángulo sólido subtendido por dS con respecto al punto P se obtiene al trazar semirrectas desde este punto tocando dS sin pasar por su interior, como se muestra en la figura 1. De esta manera se obtiene una superficie cónica cuya abertura interior representa el ángulo sólido buscado, superficie que suele llamársele **Cono Elemental**, por ser dS una superficie elemental o diferencial. Por la misma razón, el ángulo sólido subtendido es también elemental o diferencial y será denotado como ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg).

![AngSol10.jpg](https://steemitimages.com/DQmYhWwLYKT5T2Bt5SvE9N34QFxoW5yKnrEcZXqoYz7JwEW/AngSol10.jpg) Figura 2 - Diferencial de angulo sólido ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg) subtendido por una superficie infinitesimal ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) con respecto a un punto de referencia P.

Para encontrar el valor numérico de ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg) es necesario usar la definición,

![Ec post5a.jpg](https://steemitimages.com/DQmNNyRT8hqb3EbWoQDhhQzNExLTuB4vX2yaj8JG5KVUJCG/Ec%20post5a.jpg) Ecuación 1

vista en el post [EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1](https://steemit.com/spanish/@tsoldovieri/el-angulo-solido-parte-1-conocimientos-basicos) y, como ya se sabe de la sección antes mencionada, debe emplearse el procedimiento representado en la figura 2. Es decir, se dibuja una esfera unitaria auxiliar con centro en P, sobre la cual el cono intercepta una superficie ![rel223.jpg](https://steemitimages.com/DQmZVeUmFRgXs1vmWMWXToXFNZ2XfG1DDnE6CcXTeEXqM38/rel223.jpg) y otra esfera con centro en el mismo punto pero con radio igual a la distancia R entre P y dS, sobre la cual el cono intercepta una superficie ![rel2t3.jpg](https://steemitimages.com/DQmc14cLkvBaiG46SZeKiGU226Uh6mLAw6TbZTSidZ9wUxi/rel2t3.jpg). Estas dos superficies son homotéticas, siendo la segunda numéricamente igual al ángulo sólido buscado y la primera, aquella que debe ser sustituida en la ecuación 1. Entonces,

![rel2tf3.jpg](https://steemitimages.com/DQmYTK7cA1fQWGhy49rH9Z8ykJrzw1gqVJv1zNyGTisTBtJ/rel2tf3.jpg) Ecuación 2

Ahora para encontrar ![Relación dXG.jpg](https://steemitimages.com/DQmbcFrPqMRZQwJE6Tc9GSgYsaA84ia2z27Kkfuuv6MLSeB/Relaci%C3%B3n%20dXG.jpg) es necesario conocer el valor de ![rel2t3.jpg](https://steemitimages.com/DQmc14cLkvBaiG46SZeKiGU226Uh6mLAw6TbZTSidZ9wUxi/rel2t3.jpg), que (al igual que ![rel223.jpg](https://steemitimages.com/DQmZVeUmFRgXs1vmWMWXToXFNZ2XfG1DDnE6CcXTeEXqM38/rel223.jpg)) es un sector esférico diferencial. Obviamente, ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) un vector normal al mismo.

![AngSol67.jpg](https://steemitimages.com/DQmeH16qwHVmswXL7Aozb1kGbXo1rD7k89W88554d7GwM6n/AngSol67.jpg) Figura 3 - Corte transversal del cono elemental de la figura 2.

Es posible aproximar, como se muestra en la figura 3, el valor de la superficie de este sector esférico (por su condición diferencial) mediante una superficie diferencial plana ![rel2tf3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmNp7piHXrEBBzufwf4raxabsFjQ35qEDhJGCxnu6uJaXM/rel2tf3c.jpg) perpedicular a ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) y, por ende, tangente a dicho sector,

![rel2tff3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmSYU7Z9xpRxVy3cv2f8CjXU8swrMG9LGdedopZpAVcJaV/rel2tff3c.jpg) Ecuación 3

En general (La superficie ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) puede ser considerada esencialmente plana debido a que es muy pequeña y, por ende, es suficiente un único ángulo para indicar su orientación) la superficie ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg) formará un ángulo ![rel2d3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmQUwhdn1SDqc1msnZWDAZsG8cgQhM93rEyK8Xh59PW9eo/rel2d3c.jpg) con ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) y, por lo tanto, con la ![rel2tf3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmNp7piHXrEBBzufwf4raxabsFjQ35qEDhJGCxnu6uJaXM/rel2tf3c.jpg). Entonces,

![rel2h3c.jpg](https://steemitimages.com/DQmRdUUdpaWRGpBrETB6Kot89NejFWqfm4mhHD4DmfpAYLq/rel2h3c.jpg) Ecuación 4

de manera que, en vista de este resultado y de la ecuación 3, la ecuación 2 puede ser escrita finalmente como,

![rel2ttc.jpg](https://steemitimages.com/DQmTFsgRzPdgwVXDEB4K9PBVhg5EDgdJA1cfBkjvNsos8br/rel2ttc.jpg) Ecuación 5

que es la expresión diferencial buscada. Para determinar el ángulo sólido subtendido por una superficie S es necesario integrar sobre toda ella la ecuación 5 resultando,

![rel2trc.jpg](https://steemitimages.com/DQmNdjxpjcuz1XtH9aLvNUKbRENGByXrxZAdtG8oqFA9EVh/rel2trc.jpg) Ecuación 6

siendo la expresión integral buscada y que puede tomarse como definición formal del ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie S desde un punto de referencia P. Aquí ![Relación QXf.jpg](https://steemitimages.com/DQmXvR3zBRJ7NcGL23cfdXf6bkwzZUzk8dpbLC5L37N2ptD/Relaci%C3%B3n%20QXf.jpg) es cada vector con origen en P y extremo en un punto de cada ![Relación 4e.jpg](https://steemitimages.com/DQmNrhYmHtytFNL6xQyzDKjMWYkaFmdags8mxVhmkhc7VwS/Relaci%C3%B3n%204e.jpg).

![AngSol50.jpg](https://steemitimages.com/DQmYBrGYfJYyZ6E5RuwKbq6yGWfBmx8USsYFj45GopoGJcE/AngSol50.jpg) Figura 4 - Angulo sólido ![Omega.jpg](https://steemitimages.com/DQmWs71c39h1FDJjfKF8BQYfPgfgyvftAPV1us2GXSMfj5E/Omega.jpg) cuando P no está en el origen del sistema de coordenadas escogido.

En el caso de que el punto P no se encuentre en el origen del sistema de coordenadas escogido sino que se encuentra a una posición ![rel2trq.jpg](https://steemitimages.com/DQmV46C3jPJAVW9XDin1oPkVkxyJ2Lg7LALbztdnc8nS5bG/rel2trq.jpg) de éste (ver figura 4), el ángulo sólido vendrá dado por la expresión,

![rel2tdd.jpg](https://steemitimages.com/DQmbq2z1CVf2qU98XiGPJgz6PJHmUaPBDx1NZo4HNmAtYVw/rel2tdd.jpg) Ecuación 7

que en función del vector ![rel2tddx.jpg](https://steemitimages.com/DQmPpY4mx9Bhx7dLZNf5xYgraHUCHHMSqP93zKrtYB2PvHF/rel2tddx.jpg) se puede escribir como,

![relwdx.jpg](https://steemitimages.com/DQmTmwBWvX9tvNQEF6zF1DKUzueUVcStGBYvt9HtcjPpPTo/relwdx.jpg) Ecuación 8

que es la misma definición dada por la ecuación 6.

El factor ![relwdxq.jpg](https://steemitimages.com/DQmfBzMM2MBDi1k1ePEB2tUGsAS1PFiaKJAQHPSGMRcKq1y/relwdxq.jpg) en el integrando de la ecuación 8 permite relacionar a la superficie proyectada ![relffxq.jpg](https://steemitimages.com/DQmWTxbthcL7bxFQcvmYhYnD5m3KGEc99WJAVsUNTqj2xgB/relffxq.jpg) con una superficie definida en la esfera de radio unidad (esfera auxiliar) mediante una homotecia con centro en ![rel2trq.jpg](https://steemitimages.com/DQmV46C3jPJAVW9XDin1oPkVkxyJ2Lg7LALbztdnc8nS5bG/rel2trq.jpg), es decir, con centro en el centro de la mencionada esfera.

*** #### REFERENCIAS 1.

Soldovieri, Terenzio y Viloria, Tony. **EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNA DE SUS APLICACIONES**. 1era edición (borrador). Puede descargarse en mi web http://www.cmc.org.ve/tsweb/

**Todas las imágenes aquí presentadas fueron elaboradas por mi**. La imagen a color constituye una modificación de la imagen de portada del texto indicado antes, del cual soy autor.

Alonso, M. & Finn, E. J. **FISICA - MECANICA**, volume 1. Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1970. pp. 21 - 23 51 - 53.

Faget, J. & Mazzaschi, J. **TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES**, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135.

*** ![10A7BB587.gif](https://steemitimages.com/DQmNbHJV2v7CPsGADD9TnkyWHA9XfDdvG4e87WWV3mZsEkE/10A7BB587.gif)

Es mi muy sincero deseo que la anterior información les sea muy útil. Sé que dentro de la comunidad de Steemit existe una enorme cantidad de estudiantes de carreras afines a la ciencia, a los cuales esta información puede ser de gran utilidad. El próximo de esta serie se referirá a las **Propiedades del Angulo Sólido**. Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.

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